Question

已知函数f（x）=x²+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）．
（1）求α、β的值；
（2）数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=g（a_n），求a_n；
（3）数列{a_n}满足：记，（n=1，2，…），求证数列{b_n}为等比数列，并求{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）先求出方程的根，再利用α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），即可得到结论；
（2）证明{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求得an；
（3）确定数列相邻项的关系，可得等比数列，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
（1）【解析】
由x2+x-6=0，可得x=2或-3，
∵α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），∴α=2，β=-3；
（2）【解析】
∵g（x）=2x+1，∴an+1=g（an）=2an+1
∴an+1+1=2（an+1）
∵a1=1，
∴{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴an+1=2n，即an=2n-1；
（3）证明：=
∴an+1+3=+3=，an+1-2=
∴=ln=2ln=2bn-1
∴{bn）是首项为ln=ln6，公比为2的等比数列
∴{bn}的前n项和Sn==（2n-1）ln6．