Question

已知函数f（x）=x²+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称．
（1）求实数a的值；  
（2）利用单调性的定义证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

Answer

（1）由函数f（x）=x2+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称，知-=1，由此能求出a．
（2）由（1）知 f （ x ）=x2-2x+b，再用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
（本小题满分12分）
【解析】
（1）∵函数f（x）=x2+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴-=1，解得a=-2．…（3分）
（2）根据（1）可知 f （ x ）=x2-2x+b，
下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x1＞x2≥1，则f（x1）-f（x2）…（5分）
=（）-（）
=（）-2（x1-x2）
=（x1-x2）（x1+x2-2）…（8分）
∵x1＞x2≥1，则x1-x2＞0，且x1+x2-2＞2-2=0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），…（11分）
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．…（12分）