Question

已知函数f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，g（x）=x²-（a-1）x-f（lnx），且g（x）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：对（-∞，+∞）上任意两个互异的实数x，y，都有；
（Ⅲ）已知△ABC的三个顶点A，B，C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证△ABC是钝角三角形．并问它可能是等腰三角形吗？说明理由．

Answer

（Ⅰ） ，由g'（1）=0，能求出a．
（Ⅱ） ，由于lnx是增函数，因此只要证即可．
（Ⅲ）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），x1＜x2＜x3，则x2-x1=x3-x2=d＞0，而，所以f（x1）＞f（x2）＞f（x3）．由此能够推导出△ABC不可能是等腰三角形．
【解析】
（Ⅰ） g（x）=x2-（a-1）x-aln（1+x）+（a+1）lnx，
，
由g'（1）=0，得2-a+1-+a+1=0，
解得a=8．
（Ⅱ）∵
且lnx是增函数，
因此只要证，
即证．
实际上，当x≠y时，有．
∴对（-∞，+∞）上任意两个互异的实数x，y，都有．
（Ⅲ）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），x1＜x2＜x3，
则x2-x1=x3-x2=d＞0，
而，
所以f（x）在（-∞，+∞）上递减，
故f（x1）＞f（x2）＞f（x3）．
此时，
=（x1-x2）（x3-x2）+（f（x1）-f（x2））（f（x3）-f（x2））＜0，
∴∠ABC＞90．
若，则f（x1）-f（x2）=f（x2）-f（x3），
得，这与（Ⅱ）的结论矛盾．
因为∠ABC是钝角，
所以△ABC不可能是等腰三角形．