Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）
（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）是否存在点E使AE与平面SBD所成的角θ满足，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接BD交AC于点O，由底面ABCD是正方形，得AC⊥BD．由SD⊥平面ABCD，知SD⊥AC，由此能够证明AC⊥BE．
（2）由AC⊥平面SBD，知∠AEO是AE与平面SBD所成的角，即∠AEO=60°，由此能够推导出不存在满足条件的点E．
（本小题满分13分）
（1）证明：连接BD交AC于点O，
由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴SD⊥AC，又SD、BD⊂平面SBD，且SD∩BD=D，
∴AC⊥平面SBD，又∵BE⊂平面SBD
∴AC⊥BE．…（6分）
（2）【解析】
由（1）可知，AC⊥平面SBD，
∴∠AEO是AE与平面SBD所成的角，即∠AEO=60°，
在Rt△AOE中，，
，
由得，，
解得与已知λ∈（0，1]矛盾，
所以不存在满足条件的点E．…（13分）