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如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=λa(0<λ≤1)
(1)求证:对任意的λ∈(0,1],都有AC⊥BE;
(2)是否存在点E使AE与平面SBD所成的角θ满足manfen5.com 满分网,若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

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(1)连接BD交AC于点O,由底面ABCD是正方形,得AC⊥BD.由SD⊥平面ABCD,知SD⊥AC,由此能够证明AC⊥BE. (2)由AC⊥平面SBD,知∠AEO是AE与平面SBD所成的角,即∠AEO=60°,由此能够推导出不存在满足条件的点E. (本小题满分13分) (1)证明:连接BD交AC于点O, 由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD. ∵SD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD, ∴SD⊥AC,又SD、BD⊂平面SBD,且SD∩BD=D, ∴AC⊥平面SBD,又∵BE⊂平面SBD ∴AC⊥BE.…(6分) (2)【解析】 由(1)可知,AC⊥平面SBD, ∴∠AEO是AE与平面SBD所成的角,即∠AEO=60°, 在Rt△AOE中,, , 由得,, 解得与已知λ∈(0,1]矛盾, 所以不存在满足条件的点E.…(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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