Question

甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/小时的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为50元/小时．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer

（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为小时，由此能求出全程运输成本y（元）与速度v（千米/时）的函数关系和函数的定义域．
（2）令f（v）=+4v，设0＜≤50，则f（v1）-f（v2）=，由此能求出为了使全程运输成本最小，汽车应以50千米/时的速度行驶．
【解析】
（1）∵甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50千米/小时，
汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：
可变部分与速度v千米/小时的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为50元/小时．
∴汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为小时，（1分）
全程运输成本y（元）与速度v（千米/时）的函数关系是：
y=（50+0.02v2）=，v∈（0，50]．（5分）
（2）令f（v）=+4v，
设0＜≤50，（6分）
f（v1）-f（v2）=，（8分）
由v1＜v2，得v1-v2＜0，又v1＜v2≤50，得v1v2＜2500，且v1v2＞0，
∴f（v1）＜f（v2）＜0，（10分）
则f（v）在（0，50]上单调递减，（11分）
∴f（v）min=f（50）．
答：为了使全程运输成本最小，汽车应以50千米/时的速度行驶．（12分）