Question

如图，在半径为R，圆心角为60°的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上．设∠POB=a，矩形PNMQ的面积为S．求：
（1）S关于a的函数表达式S（a），并写出其定义域；
（2）S（a）的最大值及相应的a的值．

Answer

（1）根据已知中∠POB=a，扇形AB的，半径为R，圆心角为60°，我们易得PN=Rsinα，PQ=Rcosα-Rsinα，代入矩形面积公式，即可得到答案．
（2）由（1）的结论，结合α∈（0，），结合三角函数的性质，我们易得，当2α+=时，S取最大值．
【解析】
（1）∵扇形AB的半径为R，圆心角为60°
且∠POB=a，矩形PNMQ面积为S．
由题设可得S=Rsinα（Rcosα-Rsinα）．
化简得：S=R2sin（2α+）-R2，α∈（0，）
（2）当α=，即∠AOP=时，
S取最大值R2．