Question

设函数f（x）=2cos²x+sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[]时，求f（x）的值域．

Answer

（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+）+1，由此求得 函数f（x）的最小正周期，再令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，
即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅱ）由 x∈[- ]求得2x+的范围，可得sin（2x+）的范围，从而求得f（x）的值域．
【解析】
（1）函数f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为 =π．
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
所以函数的单调递增区间是[kπ-，kπ+]k∈z．…（8分）
（Ⅱ）当 x∈[- ]时，-≤2x+≤，
∴-≤sin（2x+）≤1，
∴f（x）的值域为[1-，3]．…（12分）