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已知函数f(x)=ax3+bx(x∈R), (1)若函数f(x)的图象在点x=3...

已知函数f(x)=ax3+bx(x∈R),
(1)若函数f(x)的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行,函数f(x)在x=1处取得极值,求函数f(x)的解析式,并确定函数的单调递减区间;
(2)若a=1,且函数f(x)在[-1,1]上是减函数,求b的取值范围.
(1)先对函数f(x)进行求导,根据 f'(1)=0,f'(3)=24确定函数的解析式,然后令f'(x)<0求单调递减区间. (2)将a=1代入函数f(x)后对函数进行求导,根据f′(x)=3x2+b≤0在[-1,1]上恒成立转化为b≤-3x2在[-1,1]上恒成立求出b的值. 【解析】 (1)已知函数f(x)=ax3+bx(x∈R),∴f′(x)=3ax2+b 又函数f(x)图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行, 且函数f(x)在x=1处取得极值,∴f′(3)=27a+b=24, 且f′(1)=3a+b=0,解得a=1,b=-3 ∴f(x)=x3-3x 令f′(x)=3x2-3≤0得:-1≤x≤1,所以函数的单调递减区间为[-1,1] (2)当a=1时,f(x)=x3+bx(x∈R),又函数f(x)在[-1,1]上是减函数 ∴f′(x)=3x2+b≤0在[-1,1]上恒成立 即b≤-3x2在[-1,1]上恒成立∴b≤-3 当b=-3时,f′(x)不恒为0,∴b≤-3
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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