Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，且经过点．若直线x+y-1=0与椭圆交于两点P，Q，求证：OP⊥OQ．

Answer

由椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，椭圆经过点，推导出椭圆方程为．由此能够证明OP⊥OQ．
【解析】
∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，
∴设椭圆方程为+=1，
∵椭圆经过点，
∴，解得b2=，
∴椭圆方程为．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，得6x2-8x+1=0，
∴x1+x2=，=，
∴y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2
=1-+=-．
∴x1x2+y1y2=0．
∴OP⊥OQ．