Question

定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）的单调性，并求当x∈[-3，3]时，f（x）的最大值及最小值；
（3）在b＞的条件下解关于x的不等式．

Answer

（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，由奇函数的定义知，需要证明出f（-x）=-f（x），观察恒等式发现若令y=-x，则问题迎刃而解；
（2）由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f（x2）-f（x1）与0的大小即可得出f（x）在R上是减函数，再根据单调性得出函数的最值即可．
（3）不等式可化为：再利用题中条件得到2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），结合函数的单调性，将前不等式化成二次不等式，再解之即得．
【解析】
（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．…（1分）
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．…（3分）
（2）任取x1＜x2，则x2-x1＞0．∴由已知得f（x2-x1）＜0．
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＞0．
∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数．…（6分）

∵f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
∴
∴当x∈[-3，3]时，f（x）max=6，f（x）min=-6．…（8分）
（3）不等式可化为：
而2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），
得
即
∵y=f（x）在R上是减函数，
∴即bx2-（2+b2）x+2b＜0…①…（10分）
；
，此时解集为{}．…（12分）