Question

已知函数f（x）=|x|+1
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调区间，并用函数单调性的定义证明．

Answer

（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，验证f（-x）=f（x），可得函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）函数f（x）在（-∞，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数，利用定义证明函数f（x）在（-∞，0）上为减函数，再利用函数f（x）是偶函数，可得函数在（0，+∞）上为增函数．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R
∵f（-x）=|-x|+1=|x|+1=f（x），∴函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）函数f（x）在（-∞，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数
设x1＜x2＜0，则x1-x2＜0
∴f（x2）-f（x1）=x1-x2＜0
∴f（x2）＜f（x1）
∴函数f（x）在（-∞，0）上为减函数
∵函数f（x）是偶函数，
∴函数在（0，+∞）上为增函数．