Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象上任意一点都不在直线y=x的下方．
（Ⅰ）求证：a+b+c≥1；
（Ⅱ）设g（x）=x²+x+3，F（x）=f（x）+g（x），若F（0）=5，且F（x）的最小值等于2，求f（x）的解析式．

Answer

（Ⅰ）依题意，由f（1）≥1即可证得结论；
（Ⅱ）依题意可得a＞0且（b-1）2-4ac≤0．由F（0）=0可求得c=2，又F（x）=f（x）+g（x）=（a+1）x2+（b+1）x+5，F（x）min=2可求得12a=（b+1）2-12，与前者联立即可求得a，b．
（Ⅰ）证明：∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象上任意一点都不在直线y=x的下方，
∴f（1）≥1，即a+b+c≥1；
（Ⅱ）∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象上任意一点都不在直线y=x的下方，
∴f（x）≥x，即ax2+（b-1）x+c≥0，
∵a≠0，
∴a＞0且（b-1）2-4ac≤0．
又F（0）=f（0）+g（0）=c+3=5，得c=2．
又F（x）=f（x）+g（x）=（a+1）x2+（b+1）x+5，
∴F（x）min==2，整理得12a=（b+1）2-12，
将上式与c=2代入（b-1）2-4ac≤0，整理得（b-5）2≤0，
∴b=5，a=2．
∴f（x）=2x2+5x+2．