Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且 PA=AB=AC=2，点E是PD的中点．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求证：PB∥平面AEC；
（3）求三棱锥P-AEC的体积．

Answer

（1）欲证AC⊥PB，只需证明AC⊥平面PAB，而AB⊥AC，易证PA⊥AC，问题即可解决；      
（2）连接BD交AC于O，连接EO，证明EO∥PB，利用线面平行的判定定理即可得结论；
（3）通过体积轮换顶点公式即可求得三棱锥P-AEC的体积．
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PA⊥AC   …（2分）
又∵AB⊥AC，PA∩AB=A            …（4分）
∴AC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
∴AC⊥PB   …（6分）
（2）证明：连接BD交AC于O，连接EO．在△DPB中，E是PD的中点，
又O是BD的中点，∴EO∥PB．…（8分）
又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC．…（10分）
（3）∵VP-AEC=VC-PAE=VC-ADE=VE-ADC=VP-ADC
∵VP-ADC=××2×2×2=
∴VP-ADC=…（14分）