Question

已知函数f（x）=x²-（a+1）x+a，
（1）当a=2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）求关于x的不等式f（x）＜0的解集；
（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）把a=2代入可构造不等式x2-3x+2＞0，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集．
（2）根据函数f（x）=x2-（a+1）x+a的解析式，可将f（x）＜0化为（x-a）（x-1）＜0，分类讨论可得不等式的解集．
（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，即在区间（1，+∞）上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=2时，则f（x）=x2-3x+2，由f（x）＞0，得x2-3x+2＞0，
令x2-3x+2=0，解得x=1，或x=2
∴原不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）
（2）由f（x）＜0得（x-a）（x-1）＜0，
令（x-a）（x-1）=0，得x1=a，x2=1，…5 分，
当a＞1时，原不等式的解集为（1，a）；…6 分，
当a=1时，原不等式的解集为∅；…（7分），
当a＜1时，原不等式的解集为（a，1）．…（8分）．
（2）由f（x）+2x≥0即x2-ax+x+a≥0在（1，+∞）上恒成立，
得..…9 分，
令t=x-1（t＞0），
则，…13 分
∴．
故实数a的取值范围是…14 分