Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的偶函数，且当x∈[1，2]时，该函数的值域为[-2，1]．求函数f（x）的解析式．

Answer

由f（x）为偶函数可知f（x）=f（-x），故ax3+cx=0恒成立，所以f（x）=bx2+d，由此能够求出函数f（x）的解析式．
【解析】
∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x），即-ax3+bx2-cx+d=ax3+bx2+cx+d
∴ax3+cx=0恒成立，
故f（x）=bx2+d．（4分）
当b=0时，由函数f（x）的值域不是常数知不合题意；（5分）
当b＞0，x∈[1，2]时f（x）单调递增，又f（x）值域为[-2，1]，
所以．（9分）
当b＜0，同理可得，（12分）
所以f（x）=x2-3或f（x）=-x2+2．（13分）