Question

设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，试求的最小值．

Answer

（1）根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角．
（2）本题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和基本不等式得到ac的范围，得到结果．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴（2a+c）accosB+cabcosC=0，
即（2a+c）cosB+bcosC=0，
则（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0
∴2sinAcosB+sin（C+B）=0，
即，
B是三角形的一个内角，
∴
（Ⅱ）∵，
∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4
∴=，
即的最小值为-2