Question

已知数列，
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据点（n，2an+1-an）在直线y=x上，可得2an+1-an=n，代入计算可得a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）利用bn=an+1-an-1，及2an+1-an=n，即可证明数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）求得数列的前三项，求得λ，再验证即可求得结论．
（Ⅰ）【解析】
由题意，∵点（n，2an+1-an）在直线y=x上，
∴2an+1-an=n
∵，∴，
同理，，；
（Ⅱ）证明：∵bn=an+1-an-1，2an+1-an=n
∴bn+1=an+2-an+1-1=-an+1-1=（an+1-an-1）=bn，
∵b1=a2-a1-1=-
∴数列{bn}是以-为首项，为公比的等比数列；
（Ⅲ）【解析】
存在λ=2，使数列是等差数列．
由（Ⅱ）知，，，
∵an+1=n-1-bn=n-1+，∴an=n-2+，
∴Sn==
由题意，要使数列是等差数列，则
∴2×=-λ+，∴λ=2
当λ=2时，=，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．