Question

设函数．
（1）若a=0，求f（x）在（0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
（2）若f（x）在区间[1，2]上为减函数，求a的取值范围．
（3）若直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线，求a的值．

Answer

（1）由，x＞0，令，得，故f（x）在为增函数，同理可得f（x）在为减函数，由此能求出f（x）在（0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
（2）由f（x）在[1，2]上为减函数，知x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，故a＞-1．再由恒成立，能求出a的取值范围．
（3）设切点为P（x，x）则，且，由此能求出a的值．
【解析】
（1），x＞0，
令，
∴，
∴f（x）在为增函数，
同理可得f（x）在为减函数，
故时，f（x）最大值为，
当时，f（x）最大值为，
综上：．（4分）
（2）∵f（x）在[1，2]上为减函数
∴x∈[1，2]有x+a＞0恒成立⇒a＞-1
且恒成立，
而在[1，2为减函数]，
∴，又a＞-1
故为所求． （4分）
（3）设切点为P（x，x），
则，
且，
∴，
即：，
再令h（x）=x+x2+ln（1+2x），，
∴，
∴h（x）在为增函数，又h（0）=0，
∴h（x）=0⇔x=0．
则a=1为所求． （5分）