Question

已知椭圆（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点N（2，0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l斜率的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意得，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ） 设A（x1，y1），B（x2，y2），则．设直线l的方程为y=k（x-2），由，得x2+3k2（x-2）2=12．由此能够求出直线l斜率的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=，
∴
结合a2=b2+c2，解得a2=12．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ） 设A（x1，y1），B（x2，y2），
则．
设直线l的方程为：y=k（x-2），
由，得x2+3k2（x-2）2=12，
即（1+3k2）x2-12k2x+12k2-12=0．
所以，

=
==，
解得．
故直线L斜率的取值范围{k|}．