Question

已知函数f（x）=x²+（2a-8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|-1≤x≤5}．
（1）求实数a的值；
（2）f（x）≥m²-4m-9对于x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由函数f（x）=x2+（2a-8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|-1≤x≤5}，知x=-1，x=5是方程x2+（2a-8）x-5=0的两个实数根，由此能求出实数a．
（2）由f（x）=x2-4x=（x-2）2-4≥-4，f（x）≥m2-4m-9对于x∈R恒成立，知-4≥m2-4m-9，由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x2+（2a-8）x，不等式f（x）≤5的解集是{x|-1≤x≤5}，
∴x=-1，x=5是方程x2+（2a-8）x-5=0的两个实数根，
所以-1+5=8-2a，
解得a=2．
（2）∵a=2，∴f（x）=x2-4x=（x-2）2-4≥-4，
因为f（x）≥m2-4m-9对于x∈R恒成立，
所以-4≥m2-4m-9，
即m2-4m-5≤0，
解得-1≤m≤5，
故实数m的取值范围是{m|-1≤m≤5}．