Question

若数列A_n：a₁，a₂，…a_n（n≥2）满足|a_k+1-a_k|=1，（k=1，2，…，n-1），则称A_n为E数列，
（Ⅰ）写出满足a₁=a₅=0的所有E数列A₅；
（Ⅱ）若a₁=13，n=2000，求证：若A_n是递增数列，则a_n=2012；反之亦成立．

Answer

（Ⅰ）根据题意，a1=a5=0，a2=±1，a4=±1，再根据|ak+1-ak|=1求出a3=0，可以得出符合题设的E数列A5；
（Ⅱ）从必要性入手，由单调性可以去掉绝对值符号，可得是An公差为1的等差数列，再证充分性，由递增数列的性质得出不等式，再利用同向不等式的累加，可得ak+1-ak=1＞0，An是递增数列．
【解析】
（Ⅰ）∵数列E数列An满足|ak+1-ak|=1，
∴满足a1=a5=0的所有E数列A5四个：①0，1，0，1，0；
②0，-1，0，-1，0；③0，-1，0，1，0；④0，1，0，-1，0．
（Ⅱ）∵E数列An是递增数列，∴ak+1-ak=1（k=1，2，…，1999），
∵a1=13，n=2000，
∴An是首项为13，公差为1的等差数列，
∴a2000=13+（2000-1）×1=2012．
反之：由于a2000-a1999≤1，
a1999-a1998≤1，
…
a2-a1≤1，
所以a2000-a1≤1999，即a2000≤a1+1999，
又因为a1=13，a2000=2012，
所以a2000≤a1+1999．
故ak+1-ak=1＞0（k=1，2，…，1999），即An是递增数列．
综上所述，若An是递增数列，则an=2012；反之亦成立．