Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=bⁿ+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）
（1）求r的值；      
（2）当b=2时，记（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer

（1）利用an=，由，知a1=S1=b+r，an=Sn-Sn-1=（b-1）•bn-1，再由{an}为等比数列，能求出r．
（2）由an=（b-1）•bn-1，b=2，知an=2n-1，bn==，由此利用错位相减法能求出Tn．
【解析】
（1）因为，当n=1时，a1=S1=b+r，（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn+r-（bn-1+r）
=bn-bn-1
=（b-1）•bn-1，（3分）
又∵{an}为等比数列，
∴=b-1=b+r，
∴r=-1．（4分）
（2）证明：由（1）得等比数列{an}的首项为b-1，公比为b，
∴an=（b-1）•bn-1，（5分）
当b=2时，=2n-1，
bn===，（6分）
设Tn=b1+b2+b3+…+bn，
则Tn=，
=，（7分）
两式相减，得=
=-=，（9分）
所以=．（10分）