Question

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）试探究数列{a_n-1}是否是等比数列？
（2）试证明．

Answer

（1）由（an+1-an）g（an）+f（an）=0，得（an-1）（4an+1-4an+an-1）=0，所以4an+1-4an+an-1=0，由此能够证明数列{an-1}是等比数列．
（2）由（1）知，=4[1-（）n]+n，由此能够证明．
【解析】
（1）∵f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），
∴由（an+1-an）g（an）+f（an）=0，
得4（an+1-an）（an-1）+（an-1）2=0，即（an-1）（4an+1-4an+an-1）=0，（1分）
∴an-1=0，或4an+1-4an+an-1=0，
∵a1=2，∴an-1=0不合题意，舍去．
由4an+1-4an+an-1=0，
得4an+1=3an+1，∴，（n≥2）--------（3分）
∴=，
∴数列{an-1}是首项为a1-1，公比为的等比数列．（5分）
（2）证明：由（1）知数列{an-1}是首项为a1-1=1，公比为的等比数列，
∴，∴，（6分）
∴
=，（8分）
∵对∀n∈N*，有（）n，
∴1-（）n≥1-=，
∴4[1-（）n]+n≥1+n，即．（10分）