Question

定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；
（2）已知，若A∩B构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

Answer

（1）当a=0时，不符合题意．当a≠0时，由题意关于x的方程2ax2-12x-3=0的两根设为x1、x2，满足，利用根与系数关系进行配方，列出关于a的方程，再结合根的判别式解之，即可得到实数a的值；
（2）先解分式不等式，得不等式的解集A=（-1，6），再结合集合B的不等式组，得当x∈（0，6）时不等式组恒成立．最后讨论一元一次不等式tx+3t＞0和一元二次不等式tx2+3tx-4＜0在（0，6）都恒成立，即可得到实数t的取值范围．
【解析】
（1）当a=0时，不等式为-12x-3＞0，显然不符合合题意；--------（1分）
当a≠0时，方程2ax2-12x-3=0的两根设为x1、x2，
则△=144+24a＞0且a＜0，得-6＜a＜0
∵，，（3分）
∴，得a=-2或a=3（舍），所以a=-2．（6分）
（2）先解不等式，整理得，即（x+1）（x-6）＜0，
所以不等式的解集A=（-1，6），--------------------------------------------（8分）
又∵B⊆（0，+∞），A∩B⊆（0，6），-------------（10分），
∴不等式组的解集各区间长度和为6，所以当x∈（0，6）时恒成立．
当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0；-----------------（12分）
当x∈（0，6）时，不等式tx2+3tx-4＜0恒成立，即恒成立，
而x∈（0，6）时，的取值范围为，所以实数；--------（15分）
综上所述，t的取值范围为-------------（16分）