Question

已知函数（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数在[1，+∞）上是增函数；
（3）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值集合．

Answer

（1）由函数（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），两点，列方程能求出函数f（x）的解析式．
（2）设x2＞x1≥1，推导出f（x1）-f（x2）=，由此能够证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（3）要使不等式对任意的恒成立，只需，，由此能求出a的取值集合．
【解析】
（1）∵函数（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），两点，
∴，解得a=1，b=1，
∴．…..（3分）
（2）设x2＞x1≥1，则
=，
∵x2＞x1≥1，∴x1x2＞0，x2-x1＞0，x1x2＞1，
∴x1x2-1＞0，
故f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在[1，+∞）上是增函数．   …（6分）
（3）要使不等式对任意的恒成立，
只需，，
由（2）知f（x）在[1，+∞）上单调递增，
同理可证f（x）在（0，1]上单调递减．
当时，f（x）在上单调递减，f（x）在[1，3]上单调递增．
又，，
∴当时，，
∴，
∴a的取值集合是{a|a≥log25}．…（10分）