Question

已知三条直线l₁：2x-y+a=0（a＞0），l₂：-4x+2y+1=0和l₃：x+y-1=0，且l₁与l₂的距离是；
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②点P到l₁的距离是点P到l₂的距离的；
③点P到l₁的距离与点P到l₃的距离之比是：？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）把两直线的方程的一次项系数化为相同的，再利用条件以及两平行线间的距离公式求得a的值．
（2）设点P的坐标为（m，n），m＞0，n＞0，由点到直线距离公式，依据条件②③建立方程组求得m和n的值，
即可得到满足条件的点的坐标．从而得出结论．
【解析】
（1）∵直线l1：-4x+2y-2a=0（a＞0），l2：-4x+2y+1=0，且l1与l2的距离是，
∴=，解得 a=3．
（2）设点P的坐标为（m，n），m＞0，n＞0，
若P点满足条件②，则点P在与l1、l2平行的直线l′：2x-y+C=0上，∴，
解得 C=，或 C=，故有 2m-n+=0，或2m-n+=0．
若P点满足条件③，由题意及点到直线的距离公式可得，
 =，化简可得|2m-n+3|=|m+n-1|，故有2m-n+3=m+n-1 或2m-n+3=-（m+n-1）．
即 m-2n+4=0，或3m+2=0（舍去）．
联立 2m-n+=0 和 m-2n+4=0解得 ，应舍去．
联立2m-n+=0和 m-2n+4=0解得 ，
故点P的坐标为（，），故能找到一点P同时满足这三个条件．