Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由奇函数性质得f（0）=0，由此可求出a值，注意检验；
（2）利用函数单调性的定义即可判断证明；
（3）利用函数的奇偶性、单调性可把去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式恒成立，从而可求k的范围．
【解析】
（1）由题设，需，
∴a=1，∴，
经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．
（2）f（x）在定义域R上是减函数．
证明：任取 x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，
，
∵x1＜x2，∴，，
∴f（ x2）-f（ x1）＜0，即f（ x2）＜f（ x1），
∴该函数在定义域R上是减函数．
（3）由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x）是奇函数，∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），
由（2）知，f（x）是减函数，∴原问题转化为t2-2t＞k-2t2，
即3t2-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得，
所以实数k的取值范围是：．