Question

已知是奇函数，
（1）求常数a的值；  
（2）求f（x）的定义域和值域；
（3）讨论f（x）的单调性并证明．

Answer

（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x），即可求得a值；
（2）先把函数f（x）变形为f（x）==1-，利用基本函数的值域可求函数f（x）的值域，f（x）的定义域易求得；
（3）设x1＜x2，通过作差比较f（x1）与f（x2）的大小，再利用函数的单调性的定义可作出判断．
【解析】
（1）因为是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），即=-，也即=-，
所以=a+1=0，
所以a=-1．
（2）由（1）知，f（x）==1-，
其定义域为R．
因为4x＞0，所以0＜＜2，-1＜1-＜1，
即-1＜f（x）＜1．
所以函数f（x）的值域为（-1，1）．
（3）所以函数f（x）在R上为增函数．
证明：设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（1-）-（1-）
=-=．
因为x1＜x2，所以＜，+1＞0，+1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在R上为增函数．