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如图,已知矩形ABCD的一边AB在x轴上,另两个顶点C,D落在抛物线弧y=-x2...

如图,已知矩形ABCD的一边AB在x轴上,另两个顶点C,D落在抛物线弧y=-x2+2x(0<x<2)上.设点C的横坐标为x.
(1)将矩形ABCD的面积S(x)表示为x的函数;
(2)求S(x)取最大值时对应的x值.

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(1)确定点C的纵坐标,CD的长,即可得到矩形ABCD的面积S(x)的函数; (2)求导数,确定函数的单调性,即可求得结论. 【解析】 (1)∵点C的横坐标为x, ∴点C的纵坐标为-x2+2x,CD=2x-2 ∴S(x)=(2x-2)•(-x2+2x)(0<x<2) (2)由(1)知,S(x)=(2x-2)•(-x2+2x)=-2x3+6x2-4x, ∴S′(x)=-6x2+12x-4=-6(x-)(x+) ∴在(0,),(,2)上S′(x)<0,函数单调递减,在(,)上S′(x)>0 ∴x=时,S(x)取最大值.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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