Question

已知下列4个命题：
①若f（x）在R上为减函数，则-f（x）在R上为增函数；
②若f（x）=，那么它的单调递增区间为[1，+∞）；
③若函数在R上是增函数，则a的取值范围是1＜a＜8；
④函数f（x），g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上都是奇函数，则f（x）•g（x）在区间[-a，a]（a＞0）是偶函数；
其中正确命题的序号是    ．

Answer

根据函数的单调性的运算法则，得①是真命题；根据函数的定义域的求法和复合函数的单调性，得②不正确；根据分段函数的单调性判别法则，得③不正确；根据函数奇偶性的定义和运算法则，可得④是真命题．由此不难得到本题答案．
【解析】
对于①，因为f（x）与-f（x）在同一单调区间上的单调性相反，
故由f（x）在R上为减函数，可得-f（x）在R上为增函数，可得①是真命题；
对于②，由于函数的定义域为{x|x2-2x-3≥0}={x|x≥3或x≤-1}，
结合复合函数的单调性，得f（x）=的单调递增区间为[3，+∞），得②不正确；
对于③，函数在R上是增函数，得
解之得a∈∅，故1＜a＜8是假命题，得③不正确；
对于④，因为f（x）、g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上都是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），x∈[-a，a]（a＞0）
设F（x）=f（x）•g（x），得F（-x）=f（-x）g（-x）=[-f（x）][-g（x）]=f（x）•g（x），
∴F（-x）=F（x），得f（x）•g（x）在区间[-a，a]（a＞0）是偶函数，得④正确．
故答案为：①④