Question

已知抛物线方程为y²=2px（p＞0）．
（Ⅰ）若点（2，2）在抛物线上，求抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若过焦点F且倾斜角为60°的直线m交抛物线于A、B两点，点M在抛物线的准线l上，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，求证：k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．

Answer

（Ⅰ）根据（2，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，可得p=2，从而可求抛物线的焦点坐标与准线l的方程；
（Ⅱ）过焦点F（1，0）且倾斜角为60°的直线m的方程为y=（x-1）与抛物线方程联立，可得点A、B的坐标，设点M的坐标为M（-1，t），即可证得kMA、kMF、kMB成等差数列．
（Ⅰ）【解析】
∵（2，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，
∴由（2）2=2p×2得p=2
∴抛物线的焦点坐标为F（1，0），准线l的方程为x=-1
（Ⅱ）证明：过焦点F（1，0）且倾斜角为60°的直线m的方程为y=（x-1），与抛物线方程联立，消元可得3x2-10x+3=0，
∴x1=3，x2=，
∴点A、B的坐标为A（3，2），B（，）
∵抛物线的准线方程为x=-1，设点M的坐标为M（-1，t），
则kMA=，kMB=-，kMF=-
∴kMA+kMB==-t=2kMF，
∴kMA、kMF、kMB成等差数列．