Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有＞0成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；
（2）解不等式：f（x+）＜f（）；
（3）若当a∈[-1，1]时，f（x）≤m²-2am+3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）任取x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，由奇函数的定义将f（x1）-f（x2）进行转化，利用所给的条件判断出f（x1）＜f（x2）即可；
（2）根据（1）的结论和增函数的定义，以及函数的定义域，列出不等式组求出x的范围；
（3）根据（1）的结论和条件，将问题转化为m2-2am+3≥3，即m2-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，再构造函数g（a）=-2m•a+m2，即g（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围，需对m进行分类讨论求出此函数的最小值．
【解析】
（1）任取x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则-x2∈[-1，1]，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=•（x1-x2），
由已知得，x1-x2＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，∴，解得≤x＜-1，
∴不等式的解集为{x|-≤x＜-1}．
（3）∵f（1）=3，f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴在[-1，1]上，f（x）≤3，即m2-2am+3≥3，
∴m2-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
设g（a）=-2m•a+m2≥0，
①若m=0，则g（a）=0≥0，自然对a∈[-1，1]恒成立．
②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，
则必须g（-1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．
∴m的取值范围是m=0或m≤-2或m≥2．