Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：S₃=15，a₂+a₅=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且，求非零常数c．
（3）若（2）中的{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（1）利用等差数列的性质可得，求出a1，d代入等差数列的通项公式可求an．
（2）代入等差数列的前n项和公式可求Sn，进一步可得bn，然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3，从而可求c．
（3）先由配方法导出2Tn-3bn-1＞4，再由均值定理导出≤4，由此能证明．
【解析】
（1）∵等差数列{an}中，S3=15，a2+a5=22，
∴，
解得a1=1，d=4．
∴an=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）∵a1=1，d=4，
∴Sn=n+=2n2-n，
∵数列{bn}是等差数列，且，
∴2（）=+，
整理，得2c2+c=0，
∵c是非零常数，∴解得c=-．
（3）由（2）得bn==2n，
∴{bn}的前n项和为Tn=2（1+2+3+…+n）=（n+1）n=n2+n，
∴2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4≥4，
但由于n=1时取等号，从而等号取不到，
∴2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4＞4，

∴===≤4，n=3时取等号．
∴．