Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求三棱锥B-CMN的体积．

Answer

（1）取AC 中点D，连接SD，DB，证明AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC⊥SB；
（2）由VB-CMN=VN-CMB，即可求得三棱锥B-CMN的体积．
（1）证明：取AC中点D，连接SD，DB．
因为SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，
因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面SDB．
又SB⊂平面SDB，所以AC⊥SB；
（2）【解析】
因为AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．
过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，
因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．
又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD．
由于SN=NB，所以NE=SD=
所以S△CMB=CM•BM=
所以VB-CMN=VN-CMB=S△CMB•NE==