Question

已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

Answer

（1）可求得直线l的方程及直线l在y轴上的截距，依题意，从而可解得k的取值范围；
（2）依题意可求得A（-，0），B（0，1+2k），S=（4k++4），利用基本不等式即可求得答案．
【解析】
（1）直线l的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是：k≥0…（5分）
（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：-，在y轴上的截距为1+2k，
∴A（-，0），B（0，1+2k），又-＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4=0…（10分）