Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）对于函数F（x）及其定义域D，若存在x∈D，使F（x）=x成立，则称x为F（x）的不动点．若f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，求实数b的取值范围；
（3）若n为正整数，证明：．
（参考数据：lg3=0.3010，，，）

Answer

（1）由已知中函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，结合函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），我们可以构造关于a的方程，解方程可以求出a的值；
（2）确定函数解析式，利用不动点的定义，可得实数b的取值范围；
（3）由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；当n≥4时，G（n）单调递减，可得G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}，从而不等式得到证明．
（1）【解析】
∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，∴f（0）=g（0），即|a|=1．
又a＞0，∴a=1．                      …（2分）
（2）【解析】
由（1）知，．
当x≥1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x2+3x+b=x，即b=-x2-2x=-（x+1）2+1．                   …（3分）
∵x≥1，∴-（x+1）2+1≤-3，此时b≤-3．       …（4分）
当x＜1时，若f（x）+g（x）+b存在不动点，则有x2+x+2+b=x，即b=-x2-2…（5分）
∵x＜1，∴-x2-2≤-2，此时b≤-2．            …（6分）
故要使得f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，则实数b的取值范围应为（-∞，-2]．  …（7分）
（3）证明：设．
因为n为正整数，
∴．                    …（8分）
∴．     …（9分）
当时，，即，亦即，∴．                        …（11分）
由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；当n≥4时，G（n）单调递减．
∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}．                      …（12分）
又，，
…（13分）
∴G（n）≤G（4）＜4．                            …（14分）