Question

研究表明：学生的接受能力依赖于老师持续讲课所用的时间．上课开始时，学生兴趣高，接受能力递增，中间有一段时间学生的兴趣不变，接受能力稳定在某个状态，随后学生的注意力开始分散，接受能力下降．分析结果和实验表明：用f（x）表示学生的接受能力，x表示老师讲课所用的时间（单位：分），可有以下的关系式：
（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）一个数学难题，需要不低于55的接受能力，上课开始30分钟内，问能达到该接受能力所要求的时间共有多少分钟？

Answer

（1）根据已知中的函数解析式，分析出函数的单调性，求出函数的最大值点，及取最大值时，自变量的取值范围，可得答案．
（2）根据题意，构造不等式f（x）≥55，另外根据分段函数的解析式，分段讨论后，综合讨论结果可得答案．
【解析】
（1）0＜x≤10时，有f（x）=-0.1x2+2.6x+43=-0.1（x-13）2+59.9，
对称轴x=13在区间（0，10]右边
故当0＜x≤10时，f（x）递增，
最大值为f（10）=-0.1×（-3）2+59.9=59；
显然，当16＜x≤30时，f（x）递减，
f（x）＜-3×16+107=59．
因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟…（6分）
（2）依题意，当0＜x≤10时，
令f（x）≥55，则（x-13）2≤49，
∴6≤x≤10；
当10＜x≤16时，f（x）=59符合要求；
当16＜x≤30时，令f（x）≥55，则x≤17
因此，学生不低于55的接受能力的时间共有17-6=11（分钟）…（13分）