Question

函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-]∪（1，]
B．[-，-1）∪[，+∞）
C．（1，]
D．[，+∞）

Answer

分情况讨论函数的单调性①当函数在（-∞，+∞）上单调递减时，分区间使函数在每个区间上都单调递减，再保证（a2-1）ea×0≥a×02+1，解出a的范围去交集即可．②当函数在（-∞，+∞）上单调递增时，类比单调递减求解即可．最后将上面a的范围去并集即可得到答案．
【解析】
当函数在（-∞，+∞）上单调递减时，
当x≥0时f（x）=ax2+1是单调递减函数，所以a＜0．
当x＜0时f（x）=（a2-1）eax是单调递减函数，所以f′（x）=a（a2-1）eax≤0
因为a＜0，所以a≤-1．
当a=-1时f（x）=0不具有单调性，所以a=-1舍去．所以a＜-1．
又因为函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，所以（a2-1）ea×0≥a×02+1解得或a≥．
由以上可得．
当函数在（-∞，+∞）上单调递增时，
当x≥0时f（x）=ax2+1是单调递增函数，所以a＞0．
当x＜0时f（x）=（a2-1）eax是单调递增函数，所以f′（x）=a（a2-1）eax≥0
因为a＞0，所以a≥1．
当a=1时f（x）=0不具有单调性，所以a=1舍去．所以a＞1．
又因为函数f（x）在（-∞，+∞）上单调增减，所以（a2-1）ea×0≤a×02+1解得．
由以上可得．
综上所述可得．
故选A．