Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，关于数列{a_n}有下列三个命题：
①若数列{a_n}既是等差数列，又是等比数列，则a_n=a_n+1；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R），则数列{a_n}是等差数列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，则数列{a_n}是等比数列．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

若数列{an}既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列一定是一个非0的常数列，根据等比和等差数列的前n项和的公式判断后面两个命题正确．
【解析】
若数列{an}既是等差数列，又是等比数列，
那么这个数列一定是一个非0的常数列，则有an=an+1，故①正确
若Sn=an2+bn（a，b∈R），则数列{an}是等差数列；这是判断等差数列的一种方法，但是a=0时，不仅是等差数列还是等比数列，故②不正确
若Sn=1-（-1）n，则数列{an}是等比数列，这是判断等比数列的一种方法．故③正确，
综上可知有2个命题是正确的，
故选C．