Question

在等差数列{a_n}中，a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）令b_n=2，证明：数列{b_n}为等比数列；
（3）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）等差数列{an}中，由a10=30，a20=50．解得a1=12，d=2，由此能求出数列{an}的通项an．
（2）由an=2n+10，知bn=2=22n=4n，由此能够证明数列{bn}是等比数列．
（3）由nbn=n•4n，知Tn=1•4+2•42+…+n•4n，由此利用错位相减法能求出数列{nbn}的前n项和Tn．
（1）【解析】
设数列{an}首项为a1，公差为d，
依题意知，解得a1=12，d=2，
∴an=12+（n-1）×2=2n+10．
（2）证明：∵an=2n+10，
∴bn=2=22n=4n，
∴==4，
∴数列{bn}是以首项b1=4，公比为4的等比数列．
（3）【解析】
∵nbn=n•4n，
∴Tn=1•4+2•42+…+n•4n，①
4Tn=1•42+2•43+…+n•4n+1，②
①-②，得-3Tn=4+42+…+4n-n•4n+1=-n•4n+1=，
∴Tn=．