Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=
（1）求sin²+cos2A的值；
（2）若a=，求bc的最大值．

Answer

（1）根据诱导公式和二倍角的余弦公式，将原式化简得到关于cosA的式子，代入已知数据即可得到所求；
（2）由余弦定理，得到b2+c2=bc+5，再结合基本不等式化简整理，即可得到当且仅当b=c时，bc的最大值为．
【解析】
（1）∵sin2=[1-cos（B+C）]=（1+cosA）
∴sin2+cos2A=（1+cosA）+（2cos2A-1）=（1+）+（-1）=-；
（2）∵a=，∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=5
即b2+c2=bc+5
∵b2+c2≥2bc，
∴bc+5≥2bc，解得bc≤，当且仅当b=c时取等号．
因此，当且仅当b=c=时，bc的最大值为．