Question

已知向量=（2cos²x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=1且f（A）=3，求△ABC的面积S的最大值．

Answer

（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式滑进函数f（x）的解析式为2sin（2x+）+1，令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由 a=1且f（A）=3，求得A=．再由余弦定理以及基本不等式求得 bc≤，可得 S= sinA≤=．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）==2cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1，…（3分）
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
故 f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．…（6分）
（Ⅱ）∵a=1且f（A）=3，∴sin（2A+）=1，由于 0＜A＜π，即 A=．
又 a2=b2+c2-2bc•cosA 及  b2+c2≥2bc，∴bc≤，…（9分）
∴S= sinA≤=，当且仅当 b=c时，取“=”．
∴S的最大值为 ．…（12分）