Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱A₁D₁，A₁B₁的中点． 
（Ⅰ）求异面直线DE与FC₁所成的角的余弦值；
（II）求BC₁和面EFBD所成的角；
（ III）求B₁到面EFBD的距离．

Answer

（Ⅰ）异面直线DE与FC1所成的角等于向量的夹角或其补角，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（II）建立空间坐标系，确定面EFBD的法向量，，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（III）点B1到面EFBD的距离d等于向量在面EFBD的法向量上的投影的绝对值．
【解析】
（Ⅰ）如图建立空间坐标系D-xyz，记异面直线DE与FC1所成的角为α，则α等于向量的夹角或其补角，
∵E、F分别是棱A1D1，A1B1的中点，D（0，0，0），E（1，0，2），F（2，1，2），C1（0，2，2）
∴，
∴=
（II）由题意，，
设面EFBD的法向量为
由，得
又
记BC1和面EFBD所成的角为θ，则
∴BC1和面EFBD所成的角为．
（III）点B1到面EFBD的距离d等于向量在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，
∵B（2，2，0），B1（2，2，2），∴
∵
∴==．