Question

已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，
（Ⅰ）求这个组合体的体积；
（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中A₁B₁BA为正方形．
（i）求证：A₁B⊥平面AB₁C₁D；
（ii）求证：P为棱A₁B₁上一点，求AP+PC₁的最小值．

Answer

（I）由几何体的三视图可知该几何体为底部为长方体，（该长方体的棱长分别为8，8，10），上部为半个圆柱（圆柱的底面直径为8，高为10）代入体积公式可求
（II）（i）由长方体的性质易得A1B⊥AD，A1B⊥AB1，根据直线与平面垂直的判定定理可证
（ii）将上底面A1B1C1D1展开，与平面A1B1BA共面时，连接AC1交A1B1于点P，即AC1为最短距离
【解析】
（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱．（5分）
（Ⅱ）（i）∵长方体ABCD-A1B1C1D1
∴AD⊥平面A1B1BA
∵A1B⊂平面A1B1BA
∴AD⊥A1B
又∵A1B1BA是边长为8的正方形
∴A1B⊥AB1
∵AB1∩AD=A
∴A1B⊥平面AB1C1D．（10分）
（ii）将上底面A1B1C1D1展开，与平面A1B1BA共面时，连接C1A交A1B1于点P，即AC1为最短距离．
此时长度为．（13分）