Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N⁺均有++…+=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

Answer

（1）利用等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项，可得（1+4d）2=（1+d）（1+13d），求出d，即可求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）再写一式，两式相减，求出数列的通项，即可求数列的和．
【解析】
（1）由已知得：a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d…（2分）
∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），
∴3d2-6d=0
∵d＞0，∴d=2
∴an=2n-1，b2=a2=3，b3=a5=9，
∴                 …（6分）
（2）由得，…（9分）
两式相减得，
∴
n=1时，c1=3
∴c1+c2+…+c2013=3+2×3+2×32+…+2×32012=32013…（12分）