Question

设直线l过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F，且与该抛物线交于A、B两点，l的斜率为k，点C（0，t），当k=0，t=1+2时，△ABC为等边三角形．
（Ⅰ）求抛物线的方程．
（Ⅱ）若不论实数k取何值，∠ACB始终为钝角，求实数t的取值范围．

Answer

（1）直线l过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，l的斜率为k，知直线l的方程为：y=kx+，当k=0时，y=，C（0，1+2），CF=1+2-，AB=2p，由此利用△ABC是等边三角形，能求出抛物线的方程．
（2）由（1）知，抛物线的方程为x2=4y，直线l的方程为：y=kx+1，联立，得x2-4kx-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=-4，由C（0，t），知，，由不论实数k取何值，∠ACB始终为钝角，知=x1x2+（y1-t）（y2-t）＜0，由此能求出实数t的取值范围．
【解析】
（1）∵直线l过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，l的斜率为k，
∴直线l的方程为：y=kx+，
当k=0时，y=，C（0，1+2），CF=1+2-，AB=2p，
∵△ABC是等边三角形，
∴4p2-p2=（1+2-）2，解得p=2．
∴抛物线的方程为x2=4y．
（2）由（1）知，抛物线的方程为x2=4y，直线l的方程为：y=kx+1，
联立，得x2-4kx-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=-4，
∴y1y2=（kx1+1）•（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=-4k2+4k2+1=1，
y1+y2=（kx1+1）+（kx2+1）=k（x1+x2）+2=4k2+2，
∵C（0，t），∴，，
∵不论实数k取何值，∠ACB始终为钝角，
∴＜0，
∴=x1x2+（y1-t）（y2-t）
=x1x2+y1y2-t（y1+y2）+t2
=-4+1-4k2t-2t+t2
=t2-（4k2+2）t-3＜0．
∴以k为自变量的不等式4tk2+2t-t2+3＞0的解集是R，
∴t=0，或，
即t=0，或，
解得0≤t＜3．
∴实数t的取值范围是[0，3）．