已知圆C以为圆心且经过原点O．（Ⅰ）若直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，...

已知圆C以

为圆心且经过原点O．
（Ⅰ）若直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

（I）利用圆的标准方程写出圆的方程，根据线段的中垂线的性质判断出C，H，O三点共线，利用两点连线的斜率公式求出直线OC的斜率，列出关于t的方程，求出t的值．通过圆心到直线的距离与圆半径的大小的比较，判断出直线与圆的关系是否相交．（II）求出点B关于直线x+y+2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径．【解析】由题知，圆C方程为，化简得（Ⅰ）∵|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN． ∴C，H，O三点共线，则直线OC的斜率或t=-2，知圆心C（2，1）或C（-2，-1），所以圆方程为（x-2）2+（y-1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5，由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，不满足直线和圆相交，故舍去． ∴圆C方程为（x-2）2+（y-1）2=5．（Ⅱ）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为，所以|PB|+|PQ|的最小值为，直线B′C的方程为，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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