Question

平行六面体ABCD=A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3．∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°
求AC₁的长．

Answer

观察图形及题设条件，可构造出与AC1有关的三角形然后利用三角形求此线段的长度，由题设条件可以证出AA1在底面上的射影是角BAD的角平分线，由几何体的几何特征知，CC1在底面上的射影在BC，DC的所组成的角的角平分线上，且此垂足到C的距离与点A1在底面的垂足O到A的距离相，故可依据题设条件求出点O到AB，AD的距离，即求得图中HR，CR的长度，补出如图的图形，在直角三角形中即可求出AC1的长
【解析】
由题意，如图，作A1O⊥底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，连接A1F，A1E，
由于，∠BAA1=∠DAA1=60°，故有△A1FA≌△A1EA，即A1F=A1E
从而有△A1FO≌△A1EO，即有OF=OE，由作图知，O在角DAB的角平分线上，
又底面是矩形，故角DAO=角BAO=45°，
又AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAA1=∠DAA1=60°，
∴A1F=A1E=，AE=AF=，于是有AO=，
在直角三角形A1OA中，解得A1O=
在图中作C1H垂直底面于H，作HR垂直DC延长线与R，由几何体的性质知，HR=CR=，A1O=C1H=
连接AH，得如图的直角三角形ASH，直角三角形AHC1，由已知及上求解得AS=，SH=
∴AC12=AH2+C1H2=AS2+SH2+C1H2=++==23
∴AC1=