Question

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-，0），且过D（2，0），设点A（1，）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．

Answer

（1）由左焦点为，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（2）椭圆的参数方程是，α为参数，故P（2cosα，sinα），设线段PA的中点为M（x，y），由A（1，），P（2cosα，sinα），知x=，，由此能求出线段PA中点M的轨迹方程．
【解析】
（1）∵在平面直角坐标系中的一个椭圆，
它的中心在原点，左焦点为F（-，0），且过D（2，0），
∴椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为．
（2）椭圆的参数方程是：，α为参数．
∴P（2cosα，sinα），
设线段PA的中点为M（x，y），
∵A（1，），P（2cosα，sinα），
∴x=，，
∴cosα=2x-1，
sinα=2y-，
∴（2x-1）2+（2y-）2=1．
∴线段PA中点M的轨迹方程是（2x-1）2+（2y-）2=1．