Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x²相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q，
（1）若，求c的值；
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．

Answer

（1）设过C点的直线的方程，与抛物线方程联立设出A，B的坐标则可分别表示出来，根据求得-c-k2c+kc•k+c2=2，求得c．
（2）设过Q的切线方程，通过对抛物线方程求导求得切线的斜率，进而可表示出切线方程求得与y=-c的交点为M的坐标进而根据P为线段AB的中点，求求得Q点的坐标，根据x1x2=-c，进而可表示出M的坐标，判断出以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线．
（3）根据（2）可知点Q的坐标，根据PQ⊥x轴，推断出点P的坐标，进而求得，判断出P为AB的中点．
【解析】
（1）设过C点的直线为y=kx+c，所以x2=kx+c（c＞0），即x2-kx-c=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
=（x1，y1），，
因为，所以x1x2+y1y2=2，即x1x2+（kx1+c）（kx2+c）=2，x1x2+k2x1x2-kc（x1+x2）+c2=2
所以-c-k2c+kc•k+c2=2，即c2-c-2=0，
所以c=2（舍去c=-1）

（2）设过Q的切线为y-y1=k1（x-x1），y/=2x，所以k1=2x1，即y=2x1x-2x12+y1=2x1x-x12，
它与y=-c的交点为M，
又，
所以Q，
因为x1x2=-c，所以，
所以M，
所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线．

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，
因为PQ⊥x轴，所以
因为，所以P为AB的中点．